Algèbre linéaire Exemples

- 13 x = 97 - 19 y

$- 13 x = 97 - 19 y$ ,

- 17 x = 83 + 19 y

$- 17 x = 83 + 19 y$

Étape 1

Déterminez le

A X = B

$A X = B$ à partir du système d’équations.

[\begin{matrix} - 13 & 19 - 17 & - 19 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9783 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2.2

Find the determinant.

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Étape 2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)

$- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

- 13

$- 13$ par

- 19

$- 19$ .

247 - (- 17 \cdot 19)

$247 - (- 17 \cdot 19)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

- (- 17 \cdot 19)

$- (- 17 \cdot 19)$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Multipliez

- 17

$- 17$ par

19

$19$ .

247 - - 323

$247 - - 323$

Étape 2.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 323

$- 323$ .

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

Étape 2.2.2.2

Additionnez

247

$247$ et

323

$323$ .

570

$570$

570

$570$

570

$570$

Étape 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{570} [\begin{matrix} - 19 & - 19 17 & - 13 \end{matrix}]

$\frac{1}{570} [\begin{array}{c} - 19 & - 19 \\ 17 & - 13 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez

\frac{1}{570}

$\frac{1}{570}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de

19

$19$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez

19

$19$ à partir de

570

$570$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.1.2

Factorisez

19

$19$ à partir de

- 19

$- 19$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{30} \cdot - 1 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Associez

$\frac{1}{30}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de

$19$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez

$19$ à partir de

$570$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.4.2

Factorisez

$19$ à partir de

$- 19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{30} \cdot - 1 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.5

Associez

$\frac{1}{30}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{- 1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.7

Associez

$\frac{1}{570}$ et

$17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

Étape 2.6.8

Associez

$\frac{1}{570}$ et

$- 13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{- 13}{570} \end{array}]$

Étape 2.6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} \cdot 97 - \frac{1}{30} \cdot 83 \\ \frac{17}{570} \cdot 97 - \frac{13}{570} \cdot 83 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$x = - 6$

$y = 1$